Es posible que pueda tener un Asma y la desencadena al hacer ejercicio. (Asma inducida por el ejercicio)
El vómito muy probablemente sea a consecuencia del reflejo de la tos.
Te recomiendo pedir una cita con el médico para una valoración de tu hijo y poder determinar la posible causa.
Espero haberte orientado, si tienes cualquier otra duda, escríbenos!