llevo 5 meses planificando con la inyección,pero este mes de mayo me la aplique un día después,eso puede causar daño o un posible embarazo ?

No, las inyecciones anticonceptivas mensuales cuentan con un margen de error de 3 días, es decir, puedes aplicarlas 3 días antes o 3 días después dela fecha habitual sin comprometer su efectividad, por lo cual puedes estar tranquila.

Continua aplicando tus siguientes inyecciones en la fecha habitual y ten presente que no protegen frente a enfermedades de transmisión sexual, por lo cual te sugiero el uso adicional de preservativos.

Espero haber aclarado tu duda, ante cualquier nueva inquietud, estaremos atentos. No olvides calificarnos.