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Por los síntomas que describes es muy probable que este teniendo una infección viral. Este tipo de infecciones no necesitan antibiótico y mejoran con el paso de los días, usualmente de 5 a 7 días.
La tos es el síntoma que más tarde en curar, razón por la cual tu bebé persiste con esta. Tu debes estar atenta a que esta tos vaya disminuyendo progresivamente y que tu bebé no tenga dificultad para respirar (no se vea morada, respirando rápido, con las costillas hundidas al respirar). Si desarrollo alguno de estos si tomas, debe asistir a urgencias.
Espero haberte ayudado y estaré atento si tienes más dudas para poder orientarte.