Podría ser que te encuentres presentando una reacción alérgica, especialmente al clima o una crisis asmática, que se puede manifestar con tos que empeora con el clima, en especial el clima de la madrugada. Mi recomendación es consultar nuevamente a tu médico para que te adicione un medicamento para poder controlar estos síntomas y descarte que te encuentres cursando con un asma adicionalmente.