¿Una infección vaginal molesta es motivo para ir a emergencias al hospital? En la clínica me atienden hasta dentro de 1 mes.

Sí. En urgencias se hace una discriminación de las urgencias verdaderas (aquellas que ponen en peligro la vida) y las urgencias sentidas (aquellas que son importantes para el paciente, pero que no ponen en riesgo su vida). Su caso cabría en este segundo grupo.
Por otra parte, si espera 1 mes para atender una posible infección vaginal puede sufrir complicaciones. Así que le recomiendo que acuda. Seguramente tardarán en atenderla y antes de usted pasarán aquellas personas con urgencias reales y no sentidas, pero deberían de pasarle a consulta finalmente.