¿Puede haber causado algún daño a mis cornetes o nariz en general?

Un picadiente es un objeto punzante que no está diseñado para el aseo nasal. La mucosa nasal es ampliamente irrigada y sensible por lo que la inserción de dicho objeto pudo lesionarla con facilidad y producir el sangrado.
Es probable que sea una herida reparable, pero no es algo que deba realizar por aspectos higiénicos y por seguridad.